Matematika Education: Irisan Kerucut " Lingkaran"

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu.

A. Persamaan-persamaan lingkaran

1. Persamaan-persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari jari r,

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$
Dengan notasi pembentuk himpunan dapat dituliskan sebagai berikut:
$L\equiv \left \{ \left ( x \right y) \right \mid x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$
Kedudukan titik M (a,b) terhadap lingkaran $L\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}$ dapat ditetapkan sebagai berikut:
a. Titik M (h,k) terletak di dalam L ⟺ (a^2+b^2)< r^2
b. Titik M (h,k) terletak di dalam L ⟺ (a^2+b^2)= r^2
c. Titik M (h,k) terletak di dalam L ⟺ (a^2+b^2)> r^2

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari r

$\left ( x- \right a )^{2}+\left ( y- \right b )^{2}=r^{2}$
Dengan notasi pembentuk himpunan dapat dituliskan sebagai berikut
$L\equiv \left \{ \left ( x, \right y\mid ) \right \left ^{}( x- \righta )^{2} +\left ( y- \right b)^{2}=r^{2}\}$
Kedudukan titik M (h,k) terhadap lingkaran
$L\equiv \left ( x- \right a)^{2}+\left (y- \rightb )^{2}=r^{2}$ dapat dituliskan sebagai berikut:
a. Titik M (h,k) terletak di dalam L ≡ (h-a)^2+(k-b)^2 < r^2

b. Titik M (h,k) terletak pada L ≡ (h-a)^2+(k-b)^2 = r^2

c. Titik M (h,k) terletak di luar L ≡ (h-a)^2+(k-b)^2 > r^2

3. Bentuk umum persamaan lingkaran

$x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ (A, B, dan C bilangan real)
a. Pusat lingkaran = $\left ( \frac{-A}{2}, \right \frac{-B}{2})$
b. Jari-jari lingkaran r = $\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}$
Dengan catatan $\frac{a^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C\geq 0$
Kedudukan titik M (h,k) terhadap lingkaran
$L\equiv x^{2}+y^{2}+Ax+Bx+C=0$ yaitu
a. Titik M (h,k) terletak di dalam lingkaran L⟺ h^2 + k^2 + Ak + Bk + C < 0
b. Titik M (h,k) terletak pada lingkaran L⟺ h^2 + k^2 + Ak + Bk + C = 0
c. Titik M (h,k) terletak di luar lingkaran L⟺ h^2 + k^2 + Ak + Bk + C > 0

B. Kedudukan garis terhadap lingkaran

Misalkan garis g dan lingkaran L berturut-turut mempunyai oersamaan g: ax + by = c = 0 dan $L\equiv x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$
Kedudukan garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut:
1. Untuk persamaan garis (yang berbentuk linier), nyatakan x dalam y atau y dalam x.
2. Substitusikan x dan y yang diperoleh dari langkah 1 kedalam persamaan lingkaran (yang berbentuk kuadrat) sehingga didapatkan persamaan gabungan dalam x atau y. Dari persamaan kuadrat yang diperoleh tentukan diskriminannya $D=b^{2}-4ac$
3. Kedudukan garis g terhadap lingkaran L, ditentukan oleh nilai diskriminan D, sebagai berikut:
a. Jika D > 0 ⟹ garis g memotong lingkaran L didua titik yang berlainan
b. Jika D = 0 ⟹ garis g menyinggung lingkaran L
c. Jika D < 0 ⟹ garis g tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran L

C. Garis-garis singgung pada lingkaran

1. Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran a. Untuk lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari r. Persamaan garis singgung yang melalui titik P(x,y) pada lingkaran $L\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}$
b. Untuk lingkaran dengan pusat A (a,b) dan jari-jari r
Persamaan garis singgung yang melalui titik P(x,y) pada lingkaran $L\equiv \left ( x- \righta )^{2}+\left ( y- \right b )^{2}=r^{2}$

$\left ( x- \right a)\left ( x_{1} -\right a )+\left ( y- \right b)\left ( y_{1} -\right b )=r^{2}$

c. Untuk lingkaran yang dinyatakan dalam bentuk umum
Persamaan garis singgung pada lingkaran $L\equiv x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$ yang melalui titik P(x,y)

$xx_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2}A\left ( x +\right x_{1})+\frac{1}{2}B\left ( y +\right y_{1})+C=0$

2. Garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu

a. Untuk lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari r
$y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$
b. Untuk lingkaran dengan pusat di A (a,b) dan jari-jari r
$y-b=m\left ( x- \right a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

Matematika Education

Download

Rabu, 05 Januari 2011

Irisan Kerucut " Lingkaran"

2 komentar: