Matematika Education: TRIGONOMETRI

A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku

Gambar di samping adalah segitiga siku-siku dengan titik sudut sikunya di C. Panjang sisi di hadapan sudut adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c.
Terhadap sudut α:
Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut α
Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut α
Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa

Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri terhadap sudut α sebagai berikut:
$1.sin\alpha=\frac{ Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}{panjang hiptenusa}=\frac{a}{c}$
$2.cos\alpha=\frac{ Panjangsisisiku-siku didekat(berimpit)sudutA}{panjang hiptenusa}=\frac{b}{c}$
$3.Tan\alpha=\frac{ Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}{Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}=\frac{a}{b}$
$4.Csc\alpha=\frac{ Panjanghipotenusa}{Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}=\frac{c}{a}$
$5.Sec\alpha=\frac{ Panjanghipotenusa}{Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}=\frac{c}{b}$
$6.Cot\alpha=\frac{ Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}{Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}=\frac{b}{a}$
Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:
$tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }dan cot\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$
$sec\alpha =\frac{1 }{cos\alpha }dan csc\alpha =\frac{1 }{sin\alpha }$

B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa
Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah $30^{0},45^{0}dan60^{0},$
Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini

Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

$\alpha$	$0^{0}$	$30^{0}$	$45^{0}$	$60^{0}$	$90^{0}$
$sin\alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	1
$cos\alpha$	1	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$tan\alpha$	0	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	1	$\sqrt{3}$	tak terdefinisi
$cot\alpha$	tak terdefinisi	$\sqrt{3}$	1	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	0

C. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut di berbagai Kuadran

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga ∠XOP dapat bernilai 0° sampai dengan 90°. Perlu diketahui bahwa $op= \sqrt{r^{2}}+\sqrt{y^{2}}=r$ dan r > 0
Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:
$1.sin\alpha =\frac{ordinatp}{panjangop}=\frac{y}{r}$
$2.cos\alpha =\frac{absisp}{panjangop}=\frac{x}{r}$
$3.tan\alpha =\frac{ordinatp}{absisop}=\frac{y}{x}$
$4.csc\alpha =\frac{panjangOP}{ordinatP}=\frac{r}{y}$
$5.sec\alpha =\frac{panjangOP}{absisP}=\frac{r}{x}$
$6.cot\alpha =\frac{absisP}{ordinatP}=\frac{x}{y}$
Dengan memutar garis OP maka ∠XOP=α dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran:

D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut α adalah sudut (90° ± α), (180° ± α), (360° ± α), dan -α°. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut α° dengan (90° - α) dan pelurus (suplemen) untuk sudut α°dengan (180° - α). Contoh: penyiku sudut 50° adalah 40°, pelurus sudut 110° adalah 70°
1. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (90° - α)

Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan garis y = x, sehingga diperoleh:
a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 90° - α
$b.x_{1}=x,y_{1}danr_{1}=r$
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:
$a.sin\left ( 90^{0} \right-\alpha )=\frac{y_{1}}{r_{1}}=\frac{x}{r}=cos\alpha$
$b.cos\left ( 90^{0} \right-\alpha )=\frac{x_{1}}{r_{1}}=\frac{y}{r}=sin\alpha$
$c.Tan\left ( 90^{0} \right-\alpha )=\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{x}{y}=cot\alpha$
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut α dengan (90° - α) dapat dituliskan sebagai berikut:
$a.sin\left ( 90^{0} \right -\alpha )=cos\alpha$
$b.cos\left ( 90^{0} \right -\alpha )=sin\alpha$
$c.tag\left ( 90^{0} \right -\alpha )=ctg\alpha$
$d.csc\left ( 90^{0} \right -\alpha )=sec\alpha$
$e.sec\left ( 90^{0} \right -\alpha )=cos\alpha$
$f.cot\left ( 90^{0} \right -\alpha )=tan\alpha$
2. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° - α)

Titik $p_{1}\left ( x _{1}\right y_{1})$ adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu y, sehingga ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 180° - α
$x_{1}=-x,y_{1}=ydanr_{1}=r$ maka diperoleh hubungan:
$a.sin\left ( 180^{0} \right-\alpha )=\frac{y_{1}}{r_{1}}=\frac{y}{r}=sin\alpha$
$b.cos\left ( 180^{0} \right-\alpha )=\frac{x_{1}}{r_{1}}=\frac{-x}{r}=-cos\alpha$
$c.tan\left ( 180^{0} \right-\alpha )=\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{y}{-x}=-tan\alpha$
3. Perbandingan trigonometri untuk sudut $\alpha ^{0}$ dengan $\left ( 180^{0} \right+\alpha )$ dari gambar titik

$p_{1}\left ( x_{1}, \right y_{1})$ adalah bayangan P (x,y) akibat pencerminan terhadap garis y = -x sehingga
$a.\angle XOP=\alpha dan\angle AOP_{1}=180^{0}+\alpha$
$b.x_{1}=-x,y_{1}=-ydanr_{1}=-r$
Maka dipeoleh hubungan:
$a.sin\left ( 180^{0} \right +\alpha )=\frac{y_{1}}{r_{1}}=\frac{-y}{r}=-sin\alpha$
$a.cos\left ( 180^{0} \right +\alpha )=\frac{x_{1}}{r_{1}}=\frac{-x}{r}=-cos\alpha$
$a.tan\left ( 180^{0} \right +\alpha )=\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{-y}{-x}=tan\alpha$
4. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (-α)

Diketahui titik $p_{1}\left ( x_{1} \right, y_{1})$ adalah bayangan P (x,y) akibat pencerminan terhadap garis x, sehingga
$a.\angle XOP=\alpha dan\angle XOP_{1}=180^{0}+\alpha$
$b.x_{1}=-x, y_{1}=-y,danr_{1}=-r$
Maka dipeoleh hubungan
$a.sin\left ( -\alpha \right )=\frac{y_{1}}{r_{1}}=\frac{-y}{r}=-sin\alpha$
$b.cos\left ( -\alpha \right )=\frac{x_{1}}{r_{1}}=\frac{x}{r}=cos\alpha$
$c.tan\left ( -\alpha \right )=\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{-y}{x}=-tan\alpha$
Untuk relasi α dengan (- α) tersebut identik dengan relasi α dengan 360° − α, misalnya sin (360° − α) = − sin α. Dengan memperhatikan nilai perbandingan sudut yang berelasi, dapat disimpulkan bahwa nilai perbandingan sudut, nilai positif atau negatifnya terletak pada kuadran di mana sudut itu berada.

E. Menentukan Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutup
Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutup

Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam koordinat kutub dengan P(r, α) seperti pada gambar 2.12. Jika koordinat kutub titik P(r, α) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari hubungan:
$cos\alpha =\frac{x}{r}n \to x=rcos\alpha$
$sin\alpha =\frac{y}{r}n \to y=rsin\alpha$ jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik P(r, α) dapat dicari dengan hubungan:
$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$tan\alpha =\frac{y}{x}n \to \alpha =arctan\frac{y}{x}$ ,arc tan adalah invers dari tan

F. Aturan Sinus dan Kosinus
Dalam setiap Δ ABC dengan panjang sisi-sisi BC.CA, dan AB berturutturut a, b, dan c satuan dan besar sudut A, B, dan C seperti pada gambar maka dapat ditunjukkan aturan sinus sebagai berikut:

Dalam ΔABD $sinA=\frac{BD}{c}\to BD=cSinA......(1)$
Dalam ΔCBD $sinC=\frac{BD}{a}\to BD=aSinC......(ii)$
Dari (i) dan (ii) maka: $\frac{a}{Sina}=\frac{c}{sinc}....(iii)$
Dalam Δ CAE $sinC=\frac{AE}{b}n \to AE=bSinc....(iv)$
Dalam Δ BAE $sinB=\frac{AE}{c}n \to AE=cSinB....(v)$
Dari (iv) dan (v) maka $\to \frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}...(vi)$
Jadi dari (iii) dan (iv) kita dapatkan hubungan: $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{SinC}$
Hubungan di atas kita kenal dengan aturan sinus.
Sekarang kita hubungkan aturan (rumus) kosinus berikut:
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bcCosA$
$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2bcCosA$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2bcCosA$
Dengan pemahaman tentang aturan sinus, aturan kosinus maka dapat dikonstruksikan tentang rumus luas segitiga. Pada setiap ΔABC berlaku : luas ΔABC $=\frac{1}{2}bcSinA=\frac{1}{2}acSinB=\frac{1}{2}abSinC$

G. Identitas Trigonometri
Identitas adalah kalimat terbuka yang bernilai benar untuk setiap penggantian nilai variabelnya dengan konstanta anggota domain.

Dari gambar diperoleh:
$cos\alpha =\frac{x}{r},sin\alpha =\frac{y}{r},dan r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ sehingga:
$sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =\frac{y^{2}}{r^{2}}+\frac{x^{2}}{r^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{r^{2}}=\frac{r^{2}}{r^{2}}=1$
Dengan demikian $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$ adalah sebuah identitas karena persamaan tersebut bernilai benar untuk setiap nilai peubah α.

Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian. Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.
1. Menyelesaikan persamaan sin x = sin α
Dengan mengingat rumus
$sin(180^{0}-\alpha )=sin\alpha dan sin(\alpha +k.360^{0})k\epsilon B$ maka diperoleh:
Jika sin x = sin α maka
x = α + k.360° atau x = (180° - α) + k.360° ,k ∈ B
2. Menyelesaikan persamaan cos x = cos α
Jika Cos x = Cos α maka
x = α + k.360° atau x = - α+ k.360° ,k ∈ B
Menyelesaikan persamaan tan x = tan α
Dengan mengingat rumus
$tan(180^{0}+\alpha )$ = Tanα dan Tan (α + k.360°) = Tan α, maka diperoleh:
Jika Tan x = Tan α maka
x = α + k.180° ,k ∈ B

I. Rumus-Rumus Trigonometri Untuk Jumlah Dan Selisih Dua Sudut
1.

Rumus $cos\left ( \alpha + \right\beta )dan cos\left ( \alpha - \right \beta )$ Pada gambar di samping diketahui garis CD dan AF keduanya adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus $cos\left ( \alpha -\beta \right )$
$cos\left ( \alpha + \right\beta )=\frac{AD}{AC} \to AD=acCos\left ( \alpha + \right\beta )$
Pada segitiga siku-siku CGF
$Sin\alpha =\frac{GF}{CF} \to GF=CFSin\alpha ....(1)$
Pada segitiga siku-siku AFC
$Sin\beta =\frac{CF}{AC} \to CF=AC Sin\alpha....(2)$
$Cos\beta =\frac{AF}{AC} \to AF=AC Cos\beta ....(2)$
Pada Segitiga siku-siku AEF,
$Cos \alpha =\frac{AE}{AF} \to AE=AF Cos\alpha ....(3)$
Dari (1) dan (2) diperoleh
$GF=ACsin\alpha sin\beta$
Karena DE = GF maka $DE=ACsin\alpha sin\beta$
Dari (3) dan (4) diperoleh
$AE=ACcos\alpha cos\beta$
Sehingga AD = AE – DE
$ACcos\left ( \alpha + \right\beta )=ACcos\alpha cos\beta -ACsin\alpha sin\beta$
Jadi, $cos\left ( \alpha + \right\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta$
Untuk menentukan $cos\left ( \alpha - \right\beta )$ gantilah β dengan –β lalu substitusikan ke $cos\left ( \alpha + \right\beta )$
$cos\left ( \alpha - \right\beta )=cos\left ( \alpha +\right \left ( -\beta \right ))$
$=cos\alpha cos\left ( -\beta \right )-sin\alpha sin\left ( -\beta \right )$
$=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\left ( -\beta \right )$
$=cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta$
Jadi, $cos(\alpha -\beta )=cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta$
2. Rumus
Untuk menentukan rumus $sin\left ( \alpha \right+\beta )dansin\left ( \alpha \right-\beta )$
Jadi, $sin(\alpha +\beta )=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta$
Untuk menentukan $sin(\alpha -\beta )$ seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah β dengan –β lalu substitusikan ke Sin(α+β)
Sin(α-β)=Sin(α+(-β))
=Sin α Cos (-β)+Cos α Sin(-β)
=Sin α Cos β+Cos α (-Sinβ)
=Sin α Cos β-Cos α Sinβ
Jadi, Sin(α-β)=Sin α Cos β-Cos α Sinβ
3. Rumus Tan(α+β) dan Tan(α-β)
Dengan mengingat Tan α=(Sin α)/(Cos α), maka
$tan\left ( \alpha + \right \beta )=\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha tan\beta }$
Untuk menentukan $tan\left ( \alpha \right -\beta )$ gantilah β dengan –β lalu disubstitusikan dengan Tan (α+β),
Jadi, $tan\left ( \alpha - \right \beta )=\frac{tan\alpha -tan\beta }{1+tan\alpha tan\beta }$

3 komentar:

Unknown5 Juni 2014 pukul 05.24
Alhamdulllahh :D makasihh atas materinyaa mudah" jadi manfaat buat semuanyaaa aminn :D
BalasHapus
Balasan
HAMBA ALLAH1 April 2017 pukul 20.09
semoga bermanfaat amin
BalasHapus
Balasan
Unknown29 April 2020 pukul 05.41
Mbiyen aku jek getah suwe suwe wegah nurutin kekarepanmu sansoyo bubrah mbiyen wes tak wanti wanti ojok sampek lali tapi kenyataanya pergi kartonyono neng awi medot janjimu ambruk cagakku nurutin angan angan mu uuuuu
BalasHapus
Balasan

Matematika Education

Download

Minggu, 09 Januari 2011

TRIGONOMETRI

3 komentar: