Matematika Education

Senin, 10 Januari 2011

Dimensi Tiga

A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

1. Titik, Garis Dan Bidang

Titik merupakan unsur ruang yang paling sederhana, tidak didefinisikan, tetapi setiap pembaca diharapkan dapat memahaminya. Yang dimaksud garis dalam bahasan ini adalah garis lurus dan yang dimaksud dengan bidang adalah bidang datar. Keduanya berukuran tak terbatas. Untuk garis tak terbatas panjangnya, sedangkan untuk bidang tak terbatas luasnya. Garis digambar digunakan sebatas yang diperlukan, khusus pada tulisan ini tidak berujung anak panah. Untuk menggambar sebuah bidang biasanya digunakan sebuah persegi panjang berukuran sesuai keperluan. Namun karena kedudukannya umumnya tidak frontal (tidak sejajar atau tidak pada bidang gambar), maka sebuah bidang datar biasa diwakili oleh sebuah jajar genjang. Untuk menunjukkan sebuah titik tertentu, kadang-kadang digunakan sebuah noktah. Pada bangun datar atau bangun ruang tertentu, misalnya pada sebuah kubus, meskipun bangun ruang tersebut mempunyai 8 titik sudut sebagai titik potong tiga bidang, atau tiga rusuk, titiknya tidak biasa.

2. Kedudukan Titik Terhadap Garis Dan Bidang

a. Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah garis g, mungkin:

1) Titik T terletak pada garis g, atau garis g melalui titik T (Gb. 1. 1 (i))
2) Titik T berada di luar g, atau garis g tidak melalui titik T (Gb. 1. 1 (ii))
Jika T pada g dan P pada g, maka dapat dinyatakan bahwa garis g melalui T dan P
Aksioma 1: Melalui dua buah titik dapat dibuat tepat satu garis.
b. Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah bidang H, mungkin:

Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H melalui titik T (Gb. 1.2 (i))
Untuk menunjukannya dibantu dengan menggambar sebuah garis pada bidang H (lihat C)

Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H tidak melalui titik T (Gb. 1.2 (i))

3. Kedudukan Garis Terhadap Bidang dan Garis
a. Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, mungkin:
1) Garis g terletak pada bidang H, atau bidang H melalui garis g. Sebuah garis g

dikatakan terletak pada bidang H jika setiap titik pada garis g terletak pada bidang H.
Untuk menunjukan, ujung ruas garis wakil g harus terletak pada sisi jajar genjang wakil bidang H.
Jika ada titik T di luar g juga terlatak pada bidang H, maka dapat dinyatakan pula bahwa bidang H melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.
Aksioma 2: Melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut dapat dibuat tepat sebuah bidang datar. Karena garis g tertentu jika dua ada dua titik tertentu (misal A dan b) yang dilaluinya, maka:
Aksioma 3: Melalui tiga buah titik tak segaris dapat dibuat tepat sebuah bidang datar.
2) Garis g memotong bidang H, atau garis g dan H berpotongan.

Garis g dikatakan memotong bidang H jika garis g dan bidang H mempu-nyai hanya sebuah titik persekutuan. Titik itu disebut titik potong atau titik tembus garis g terhadap bidang H. Pada Gb. 1.3 (ii), T adalah titik tembus g terhadap H.
3) Garis g sejajar bidang H (g // H), atau bidang H sejajar garis g.

Sebuah garis g dikatakan sejajar bidang H jika garis g dan bidang H tidak mempunyai titik persekutuan. Untuk menunjukkannya dapat dilakukan dengan menggambar sebuah garis pada H (misal h) sejajar garis g. Lihat Gb. 1.3 (iii).
b. Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis H, mungkin:
Garis g dan garis H terletak pada sebuah bidang (misal H). Jika demikian maka yang dapat terjadi adalah:

g dan H berimpit. Dikatakan g = H.g dan H berpotongan (pada sebuah titik). (Gb. 1.4 (i))
Aksioma 4: Melalui dua garis berpotongan dapat dibuat tepat sebuah bidang datar.

g ║h, yaitu jika keduanya tidak mempunyai titik persekutuan. (Gb. 1.4 (ii))
Aksioma 4: Melalui dua garis sejajar dapat dibuat tepat sebuah bidang datar.

garis g dan garis H tidak sebidang. Dikatakan bahwa garis g dan H bersilangan (silang menyilang). Jadi keduanya tidak sejajar dan juga tidak mempunyai titik persekutuan.
4. Hubungan Antara Bidang-Bidang
Dua bidang berimpit (semua titik pada bidang yang satu terletak pada bidang kedua, dan sebaliknya) dipandang sebagai sebuah bidang saja.
a. Hubungan antara dua bidang

Jika diketahui bidang H dan V, maka mungkin:
1)Bidang H dan V sejajar
Keduannya sama sekali tidak mempunnyai titik persekutuan. (Gb. 1.5 (i))
2) Bidang H dan V berpotongan pada sebuah garis. Garis potong ini biasa dilambangkan dengan (H, V). (Gb. 1.5 (ii))
b. Hubungan antara Tiga bidang (α,β,γ)

1) Ketiganya sejajar: → Bidang α‖β‖γ (Gb. 1.6(i))
2) Dua bidang sejajar, dipotong bidang ketiga: Bidang α‖β dan γ‖α,γ‖β⟹(α,γ) ‖(β,γ)(Gb. 1.6 (ii))
3) Ketiga bidang berpotongan pada suatu garis ⟹(α,β),(α,γ),dan (β,γ) berimpit. (Gb. 1.6 (iii))
4) Ketiga bidang berpotongan pada tiga garis potong yang sejajar. (α,β)‖(α,γ)‖(β,γ) (Gb. 1.6 (iv))
5) Ketiga bidang berpotongan pada sebuah titik ⟹ ketiga garis potong (α, β), (α, γ), dan (β, γ) melalui sebuah titik. (Gb. 1.6 (V))
5. Menentukan Titik Potong Garis dan Bidang dan Garis Potong antara Bidang-Bidang

Garis g dan H berpotongan di titik T. Garis H menembus α di A dan β di B. Garis g memebus β di C. Tentukan titik tembus g terhadap α.
Jawab: Garis g dan H berpotongan. Jadi dapat dibuat sebuah bidang misal γ melalui g dan H.

C dab B pada bidang α
C dan B pada bidang β
Jadi CB = (α,β)
(β, γ) memotong (α, β) di titik K. Maka garis potong ketiga yaitu (α, γ) juga melalui K (*). Karena A pada H, maka pada γ. Titik A titik tembus H terhadap bidang α, maka A pada α. Jadi A pada (α, γ). (**)

Dari (*) dan (**) maka (α, γ) = garis KA KA dan g pada bidang γ, keduanya berpotongan.di titik D = titik tembus g terhadap bidang α.

B. JARAK DAN SUDUT
1. Jarak
Definisi: Jarak antara dua buah bangun adalah panjang ruas garis penghubung terpendek yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut.

Jika G1 dan G2 adalah bangun-bangun geometri, maka G1 dan G2 dapat dipikirkan sebagai himpunan titik-titik, sehingga dapat dilakukan pemasangan antara titik-titik pada G1 dan G2. Jika ruas garis (AB) ̅ adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis (AB) ̅ disebut jarak antara bangun G1 dan G2. Akibat dari pengertian yang demikian maka:
a. Jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ . (Gb. 2.2 (i))
b. Jarak antara titik P dan garis g adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi P pada garis g. Pada Gb. 2.2 (ii), jarak antara titik P dan garis g = (PP_1 ) ̅ .
c. Jarak antara titik P pada bidang K adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi titik P pada bidang K. Pada Gb. 2.2 (iii), jarak antara titik P dan bidang K = PP_1.
d. Jarak antara garis g dan bidang K yang sejajar adalah sama dengan jarak salah satu titik pada garis g terhadap bidang K. Pada Gb. 2.2 (iV), jarak antara g dan K dengan g ║ K adalah P_1 .
e. Jarak antara bidang K dan L yang sejajar adalah sama dengan jarak salah satu titik pada bidang K terhadap bidang L, atau sebaliknya.
f. Jarak antara garis g dan H yang bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang letaknya tegaklurus pada g dan H (perhatikanlah cara menggambarkannya).$

2. Cara Melukis Jarak Dua Garis Bersilangan

Cara I (Gambar 2.3):
a. Lukis garis b1 // B dan memotong garis a.
b. Lukis bidang H melalui A dan b1.
c. Proyeksikan garis B terhadap bidang H. Hasilnya adalah garis b2, yang memotong garis A di titik A.
d. Lukislah garis g yang melalui A ⊥ b, dan memotong garis B di B.
e. AB = panjang AB , merupakan jarak antara garis A dan B yang bersilangan

Cara II (Gambar 2.4):
a. Lukislah bidang H ⊥ b. Bidang H memotong garis B di P.
b. Proyeksikan garis A pada bidang H, hasilnya a1.
c. Lukislah garis melalui P ⊥ a1 dan memotong a1 di titik Q.
d. Melalui Q lukis garis k // B yang memotong garis A di titik A.
e. Melalui titik A lukis garis l ║↔PQ dan memotong garis B di titik B.
f. Panjang AB sama dengan panjang PQ dan merupakan jarak antara garis A dan B yang bersilangan.
3. Sudut
a. Sudut Antara Dua Garis
Sudut antara dua garis garis adalah sudut lancip atau siku-siku antara kedua garis tersebut. Dengan demikian maka sudut antara dua garis bersilangan adalah sudut lancip atau siku-siku yang terbentuk oleh kedua garis bersilangan (tidak sebidang)

Jika A dan B dua garis bersilangan, maka besar sudut antara kedua garis sama de-ngan besar sudut antara a′ yang sebidang dengan B dan sejajar a, dengan b, atau sebaliknya: antara b′ yang sebidang dengan A dan sejajar b, dengan a. Jika sudutnya 90°, dikatakan A menyilang tegak lurus b.
Pada Gambar 2.8, A dan B bersilangan. Besar sudut antara A dan B = ∠EDF = α
b. Sudut Antara Garis dan Bidang
Garis A dikatakan tegak lurus bidang H, jika garis A tegaklurus pada semua garis pada bidang H

g ⊥ a1, g ⊥a2, g ⊥ a3, …dengan a1, a2, a3, … pada bidang H ⊥ g ⊥ H. (Gb. 2.9) Karena dua garis berpotongan menentukan keberadaan sebuah bidang (melalui 2 garis berpotongan dapat dibuat tepat sebuah bidang), maka: jika garis g tegak lurus pada dua buah garis pada bidang H, maka garis g ⊥ H. Besar sudut antara garis A dan bidang H, dengan A tidak tegak lurus H, ditentukan oleh besar sudut antara garis A dan a′ yang merupakan proyeksi garis A pada bidang H.
Read More..

Minggu, 09 Januari 2011

TRIGONOMETRI

A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku

Gambar di samping adalah segitiga siku-siku dengan titik sudut sikunya di C. Panjang sisi di hadapan sudut adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c.
Terhadap sudut α:
Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut α
Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut α
Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa

Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri terhadap sudut α sebagai berikut:
$1.sin\alpha=\frac{ Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}{panjang hiptenusa}=\frac{a}{c}$
$2.cos\alpha=\frac{ Panjangsisisiku-siku didekat(berimpit)sudutA}{panjang hiptenusa}=\frac{b}{c}$
$3.Tan\alpha=\frac{ Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}{Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}=\frac{a}{b}$
$4.Csc\alpha=\frac{ Panjanghipotenusa}{Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}=\frac{c}{a}$
$5.Sec\alpha=\frac{ Panjanghipotenusa}{Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}=\frac{c}{b}$
$6.Cot\alpha=\frac{ Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}{Panjangsisisiku-siku didekatsudutA}=\frac{b}{a}$
Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:
$tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }dan cot\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$
$sec\alpha =\frac{1 }{cos\alpha }dan csc\alpha =\frac{1 }{sin\alpha }$

B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa
Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah $30^{0},45^{0}dan60^{0},$
Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini

Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

$\alpha$	$0^{0}$	$30^{0}$	$45^{0}$	$60^{0}$	$90^{0}$
$sin\alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	1
$cos\alpha$	1	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$tan\alpha$	0	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	1	$\sqrt{3}$	tak terdefinisi
$cot\alpha$	tak terdefinisi	$\sqrt{3}$	1	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	0

C. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut di berbagai Kuadran

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga ∠XOP dapat bernilai 0° sampai dengan 90°. Perlu diketahui bahwa $op= \sqrt{r^{2}}+\sqrt{y^{2}}=r$ dan r > 0
Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:
$1.sin\alpha =\frac{ordinatp}{panjangop}=\frac{y}{r}$
$2.cos\alpha =\frac{absisp}{panjangop}=\frac{x}{r}$
$3.tan\alpha =\frac{ordinatp}{absisop}=\frac{y}{x}$
$4.csc\alpha =\frac{panjangOP}{ordinatP}=\frac{r}{y}$
$5.sec\alpha =\frac{panjangOP}{absisP}=\frac{r}{x}$
$6.cot\alpha =\frac{absisP}{ordinatP}=\frac{x}{y}$
Dengan memutar garis OP maka ∠XOP=α dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran:

D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut α adalah sudut (90° ± α), (180° ± α), (360° ± α), dan -α°. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut α° dengan (90° - α) dan pelurus (suplemen) untuk sudut α°dengan (180° - α). Contoh: penyiku sudut 50° adalah 40°, pelurus sudut 110° adalah 70°
1. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (90° - α)

Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan garis y = x, sehingga diperoleh:
a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 90° - α
$b.x_{1}=x,y_{1}danr_{1}=r$
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:
$a.sin\left ( 90^{0} \right-\alpha )=\frac{y_{1}}{r_{1}}=\frac{x}{r}=cos\alpha$
$b.cos\left ( 90^{0} \right-\alpha )=\frac{x_{1}}{r_{1}}=\frac{y}{r}=sin\alpha$
$c.Tan\left ( 90^{0} \right-\alpha )=\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{x}{y}=cot\alpha$
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut α dengan (90° - α) dapat dituliskan sebagai berikut:
$a.sin\left ( 90^{0} \right -\alpha )=cos\alpha$
$b.cos\left ( 90^{0} \right -\alpha )=sin\alpha$
$c.tag\left ( 90^{0} \right -\alpha )=ctg\alpha$
$d.csc\left ( 90^{0} \right -\alpha )=sec\alpha$
$e.sec\left ( 90^{0} \right -\alpha )=cos\alpha$
$f.cot\left ( 90^{0} \right -\alpha )=tan\alpha$
2. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° - α)

Titik $p_{1}\left ( x _{1}\right y_{1})$ adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu y, sehingga ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 180° - α
$x_{1}=-x,y_{1}=ydanr_{1}=r$ maka diperoleh hubungan:
$a.sin\left ( 180^{0} \right-\alpha )=\frac{y_{1}}{r_{1}}=\frac{y}{r}=sin\alpha$
$b.cos\left ( 180^{0} \right-\alpha )=\frac{x_{1}}{r_{1}}=\frac{-x}{r}=-cos\alpha$
$c.tan\left ( 180^{0} \right-\alpha )=\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{y}{-x}=-tan\alpha$
3. Perbandingan trigonometri untuk sudut $\alpha ^{0}$ dengan $\left ( 180^{0} \right+\alpha )$ dari gambar titik

$p_{1}\left ( x_{1}, \right y_{1})$ adalah bayangan P (x,y) akibat pencerminan terhadap garis y = -x sehingga
$a.\angle XOP=\alpha dan\angle AOP_{1}=180^{0}+\alpha$
$b.x_{1}=-x,y_{1}=-ydanr_{1}=-r$
Maka dipeoleh hubungan:
$a.sin\left ( 180^{0} \right +\alpha )=\frac{y_{1}}{r_{1}}=\frac{-y}{r}=-sin\alpha$
$a.cos\left ( 180^{0} \right +\alpha )=\frac{x_{1}}{r_{1}}=\frac{-x}{r}=-cos\alpha$
$a.tan\left ( 180^{0} \right +\alpha )=\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{-y}{-x}=tan\alpha$
4. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (-α)

Diketahui titik $p_{1}\left ( x_{1} \right, y_{1})$ adalah bayangan P (x,y) akibat pencerminan terhadap garis x, sehingga
$a.\angle XOP=\alpha dan\angle XOP_{1}=180^{0}+\alpha$
$b.x_{1}=-x, y_{1}=-y,danr_{1}=-r$
Maka dipeoleh hubungan
$a.sin\left ( -\alpha \right )=\frac{y_{1}}{r_{1}}=\frac{-y}{r}=-sin\alpha$
$b.cos\left ( -\alpha \right )=\frac{x_{1}}{r_{1}}=\frac{x}{r}=cos\alpha$
$c.tan\left ( -\alpha \right )=\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{-y}{x}=-tan\alpha$
Untuk relasi α dengan (- α) tersebut identik dengan relasi α dengan 360° − α, misalnya sin (360° − α) = − sin α. Dengan memperhatikan nilai perbandingan sudut yang berelasi, dapat disimpulkan bahwa nilai perbandingan sudut, nilai positif atau negatifnya terletak pada kuadran di mana sudut itu berada.

E. Menentukan Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutup
Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutup

Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam koordinat kutub dengan P(r, α) seperti pada gambar 2.12. Jika koordinat kutub titik P(r, α) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari hubungan:
$cos\alpha =\frac{x}{r}n \to x=rcos\alpha$
$sin\alpha =\frac{y}{r}n \to y=rsin\alpha$ jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik P(r, α) dapat dicari dengan hubungan:
$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$tan\alpha =\frac{y}{x}n \to \alpha =arctan\frac{y}{x}$ ,arc tan adalah invers dari tan

F. Aturan Sinus dan Kosinus
Dalam setiap Δ ABC dengan panjang sisi-sisi BC.CA, dan AB berturutturut a, b, dan c satuan dan besar sudut A, B, dan C seperti pada gambar maka dapat ditunjukkan aturan sinus sebagai berikut:

Dalam ΔABD $sinA=\frac{BD}{c}\to BD=cSinA......(1)$
Dalam ΔCBD $sinC=\frac{BD}{a}\to BD=aSinC......(ii)$
Dari (i) dan (ii) maka: $\frac{a}{Sina}=\frac{c}{sinc}....(iii)$
Dalam Δ CAE $sinC=\frac{AE}{b}n \to AE=bSinc....(iv)$
Dalam Δ BAE $sinB=\frac{AE}{c}n \to AE=cSinB....(v)$
Dari (iv) dan (v) maka $\to \frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}...(vi)$
Jadi dari (iii) dan (iv) kita dapatkan hubungan: $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{SinC}$
Hubungan di atas kita kenal dengan aturan sinus.
Sekarang kita hubungkan aturan (rumus) kosinus berikut:
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bcCosA$
$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2bcCosA$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2bcCosA$
Dengan pemahaman tentang aturan sinus, aturan kosinus maka dapat dikonstruksikan tentang rumus luas segitiga. Pada setiap ΔABC berlaku : luas ΔABC $=\frac{1}{2}bcSinA=\frac{1}{2}acSinB=\frac{1}{2}abSinC$

G. Identitas Trigonometri
Identitas adalah kalimat terbuka yang bernilai benar untuk setiap penggantian nilai variabelnya dengan konstanta anggota domain.

Dari gambar diperoleh:
$cos\alpha =\frac{x}{r},sin\alpha =\frac{y}{r},dan r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ sehingga:
$sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =\frac{y^{2}}{r^{2}}+\frac{x^{2}}{r^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{r^{2}}=\frac{r^{2}}{r^{2}}=1$
Dengan demikian $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$ adalah sebuah identitas karena persamaan tersebut bernilai benar untuk setiap nilai peubah α.

Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian. Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.
1. Menyelesaikan persamaan sin x = sin α
Dengan mengingat rumus
$sin(180^{0}-\alpha )=sin\alpha dan sin(\alpha +k.360^{0})k\epsilon B$ maka diperoleh:
Jika sin x = sin α maka
x = α + k.360° atau x = (180° - α) + k.360° ,k ∈ B
2. Menyelesaikan persamaan cos x = cos α
Jika Cos x = Cos α maka
x = α + k.360° atau x = - α+ k.360° ,k ∈ B
Menyelesaikan persamaan tan x = tan α
Dengan mengingat rumus
$tan(180^{0}+\alpha )$ = Tanα dan Tan (α + k.360°) = Tan α, maka diperoleh:
Jika Tan x = Tan α maka
x = α + k.180° ,k ∈ B

I. Rumus-Rumus Trigonometri Untuk Jumlah Dan Selisih Dua Sudut
1.

Rumus $cos\left ( \alpha + \right\beta )dan cos\left ( \alpha - \right \beta )$ Pada gambar di samping diketahui garis CD dan AF keduanya adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus $cos\left ( \alpha -\beta \right )$
$cos\left ( \alpha + \right\beta )=\frac{AD}{AC} \to AD=acCos\left ( \alpha + \right\beta )$
Pada segitiga siku-siku CGF
$Sin\alpha =\frac{GF}{CF} \to GF=CFSin\alpha ....(1)$
Pada segitiga siku-siku AFC
$Sin\beta =\frac{CF}{AC} \to CF=AC Sin\alpha....(2)$
$Cos\beta =\frac{AF}{AC} \to AF=AC Cos\beta ....(2)$
Pada Segitiga siku-siku AEF,
$Cos \alpha =\frac{AE}{AF} \to AE=AF Cos\alpha ....(3)$
Dari (1) dan (2) diperoleh
$GF=ACsin\alpha sin\beta$
Karena DE = GF maka $DE=ACsin\alpha sin\beta$
Dari (3) dan (4) diperoleh
$AE=ACcos\alpha cos\beta$
Sehingga AD = AE – DE
$ACcos\left ( \alpha + \right\beta )=ACcos\alpha cos\beta -ACsin\alpha sin\beta$
Jadi, $cos\left ( \alpha + \right\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta$
Untuk menentukan $cos\left ( \alpha - \right\beta )$ gantilah β dengan –β lalu substitusikan ke $cos\left ( \alpha + \right\beta )$
$cos\left ( \alpha - \right\beta )=cos\left ( \alpha +\right \left ( -\beta \right ))$
$=cos\alpha cos\left ( -\beta \right )-sin\alpha sin\left ( -\beta \right )$
$=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\left ( -\beta \right )$
$=cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta$
Jadi, $cos(\alpha -\beta )=cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta$
2. Rumus
Untuk menentukan rumus $sin\left ( \alpha \right+\beta )dansin\left ( \alpha \right-\beta )$
Jadi, $sin(\alpha +\beta )=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta$
Untuk menentukan $sin(\alpha -\beta )$ seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah β dengan –β lalu substitusikan ke Sin(α+β)
Sin(α-β)=Sin(α+(-β))
=Sin α Cos (-β)+Cos α Sin(-β)
=Sin α Cos β+Cos α (-Sinβ)
=Sin α Cos β-Cos α Sinβ
Jadi, Sin(α-β)=Sin α Cos β-Cos α Sinβ
3. Rumus Tan(α+β) dan Tan(α-β)
Dengan mengingat Tan α=(Sin α)/(Cos α), maka
$tan\left ( \alpha + \right \beta )=\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha tan\beta }$
Untuk menentukan $tan\left ( \alpha \right -\beta )$ gantilah β dengan –β lalu disubstitusikan dengan Tan (α+β),
Jadi, $tan\left ( \alpha - \right \beta )=\frac{tan\alpha -tan\beta }{1+tan\alpha tan\beta }$
Read More..

Download

Senin, 10 Januari 2011

Dimensi Tiga

Minggu, 09 Januari 2011

TRIGONOMETRI