Minggu, 02 Januari 2011

Logika Matematika "Kalimat Berkuantor"

Kuantor Universal (Universal Quantifier).
Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata-kata “Untuk semua/setiap x” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x untuk menghasilkan kalimat yang mempunyai suatu nilai kebenaran. Nilai x ditentukan berdasarkan semesta pembicaraannya. Kuantor universal disimbolkan dengan “∀”. Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua individual-individualnya. Perhatikan kalimat berikut ini :
“Semua gajah mempunyai belalai”
Maka jika predikat “mempunyai belalai” diganti dengan simbol B maka dapat ditulis :
G(x) ⇒ B(x), dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”. Tetapi kalimat di atas belum berupa kalimat berkuantor karena kalimat diatas belum memuat kata “semua”. Untuk itu perlu ditambahkan simbul kuantor universal sehingga menjadi
(∀x)(G(x) ⇒ B(x)), jadi sekarang dapat dibaca ” Untuk semua x, jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.
Pernyataan-pernyataan yang berisi kata ”semua”, ”setiap”, atau kata lain yang sama artinya, mengindikasikan adanya pengkuantifikasian secara universal, maka dipakai kuantor universal. Dalam bahasa inggris, misalnya untuk orang ada kata ”every people”, ”all people”, ”anybody”, “each people”, dan lain-lainnya.
Misalnya jika diketahui pernyataan logika, ”Setiap mahasiswa harus belajar dari buku teks”, jika ingin ditulis dalam logika predikat, maka ditentukan misal B untuk “ harus belajar dari buku teks”, sehingga jika ditulis B(x), berarti “x harus belajar dari buku teks”. Kata “Setiap mahasiswa” mengindikasikan bernilai benar untuk setiap x, maka penulisan yang lengkap adalah:
(∀x) Bx, dibaca “Untuk setiap x, x harus belajar dari buku teks”.
Akan tetapi notasi diatas belum sempurna karena x belum menunjuk mahasiswa, maka harus lebih ditegaskan dan sebaiknya ditulis :
(∀x)(M(x) ⇒ B(x)), dibaca “Untuk setiap x, jika x mahasiswa, maka x harus belajar dari buku teks”.
Langkah untuk melakukan pengkuantoran universal:
Perhatikan pernyataan berikut ini :
“Semua mahasiswa harus rajin belajar”
Untuk melakukan pengkuantoran universal pada pernyataan tersebut maka dilakukan langkah-langkah seperti berikut :
Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya, yaitu “Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”. Selanjutnya akan ditulis: mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x)
Berilah kuantor universal di depannya (∀x)(mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x))
Ubahlah menjadi suatu fungsi (Ax)(M(x) ⇒ B(x))
Contoh
”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh ”.
Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk tumbuh Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x)
(∀x) (Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x))
(∀x)(T(x) ⇒ A(x))
”Semua artis adalah cantik”.
Jika x adalah artis, maka x cantik, Artis(x) ⇒ cantik(x).
(∀x)( Artis(x) ⇒ cantik(x))
(∀x)(A(x) ⇒ C(x))
Jika diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat positif A > 5 . Tentukan nilai kebenaran (∀x∈A) x+3>10. Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek satu persatu.
A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang dimasukkan harus memenuhi persamaan yaitu x+3>10
Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10 Memenuhi
A=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10 Memenuhi
A=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10 Memenuhi
A=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10 Memenuhi
Karena semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai benar. Tapi jika ada satu saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 ≡ 11>10, dimana hasilnya salah maka (∀x) x+3>10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau counter example.

Kuantor Eksistensial (Existensial Quantifier)
Kuantor eksistensial menunjukkan bahwa diantara objek-objek (term–term) dalam semestanya, paling sedikit ada ada satu term/objek yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata-kata : “Terdapat…..”, “Beberapa x bersifat…..”, “Ada……”, “Paling sedikit ada satu x………” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x. Kuantor eksistensial disimbolkan dengan ”∃”. Kuantor eksistensial mengindikasikan bahwa sesuatu kadang-kadang bernilai benar untuk individu-individualnya. Dalam bahasa inggris, penggunaan kuantor eksistensial dapat ditunjukkan dengan penggunaan kata kata: ”some”,” there is”, ”at least one”, dan kata-kata lain yang sama artinya.
Perhatikan kalimat berikut ini :
” Ada pelajar yang memperoleh beasiswa berprestasi ”
Untuk melakukan pengkuantoran eksistensial pada pernyataan tersebut, dilakukan langkkah-langkah sebagai berikut :
Carilah scope dari kuantor-kuantor eksistensialnya, yaitu:
“Ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh beasiswa berprestasi “.
Selanjutnya akan ditulis :
Pelajar(x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi (x)
Berilah kuantor eksisitensial di depannya.
(∃x) (Pelajar(x)∧ memperoleh beasiswa berprestasi(x))
Ubahlah menjadi suatu fungsi.
(∃x)(P(x) ∧ B(x))
Contoh
“Beberapa orang rajin beribadah”.
Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka:
”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”.
(∃x)(Orang(x) ∧ rajin beribadah(x))
(∃x)(O(x) ∧ I(x))
“Ada binatang yang tidak mempunyai kaki”.
“Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak mempunyai kaki”.
(∃x)(binatang(x) ∧ tidak mempunyai kaki(x))
(∃x)(B(x) ∧ ¬K(x))
Misalkan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran (∃x ∈ B)(x2=x).
(∃x ∈ B)(x2=x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat dan x memenuhi x^2=x”. (∃x ∈ B)(x^2=x) akan bernilai benar jika dapat ditunjukkan paling sedikit ada satu bilangan bulat yang memenuhi x^2=x.
Misal x= -1, maka 〖-1〗^21 Tidak memenuhi
x= 1, maka 〖(1)〗^2=1 Memenuhi
Karena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di atas bernilai benar.

Kuantor Ganda
Domain atau semesta pembicaraan penafsiran kuantor sangat penting untuk menentukan jenis kuantor yang akan digunakan serta mempengaruhi penulisan simbolnya. Lihat contoh berikut:
“Setiap orang mencintai Jogjakarta”
Selanjutnya, dapat ditulis simbolnya dengan logika predikat (∀x)C(x,j)
Simbol tersebut dapat dibaca “Untuk semua y, y mencintai Jogjakarta”. Persoalan yang terjadi adalah domain penafsirab seseorang untuk y bias berbeda-beda. Ada orang yang menganggap y hádala manusia, tetapi mungkin orang lain menganggap y bisa mahluk hidup apa saja, missal ayam, bebek, bahkan mungkin y bisa menjadi benda apa saja. Tentu saja domain penafsiran semacam ini kacau karena yang dimaksudkan pasti hanya orang atau manusia. Oleh karena itu, untuk memastikan bahwa domain penafsiran hanya orang, penulisan simbol harus diperbaiki seperti berikut :
(∀y)(O(y)⇒ C(y,j) )
Sekarang simbol tersebut dapat dibaca ”Untuk semua y jika y adalah orang, maka y mencintai Jogjakarta”.
Untuk menulis simbol yang tepat, memang harus menempatkan terlebih dahulu domain penafsiran karena domain penafsiran Sangat mempengaruhi penulisan dan sekaligus menghindari terjadinya ambiguitas. Contoh domain penafsiran yang bersifat umum antara lain manusia, binatang, tumbuh-tumbuhan, bilangan prima, bilangan asli, dan sebagainya, yang nantinya akan menggunakan kuantor universal. Akan tetapi jira tertentu saja atau tidak semuanya, misalnya beberapa manusia, atau satu manusia saja, akan memakai kuantor yang berbeda yaitu kuantor eksisitensial.
Persoalan selanjutnya adalah bagaimana jira memakai dua kuntor yang berbeda pada satu penulisan simbol yang berasal dari satu pernyataan. Apakah domain penafsiran juga akan berbeda atau sama?. Perhatikan contoh berikut ini :
“Setiap orang dicintai oleh seseorang”
Dengan notasi simbol logika predikat, akan ditullis seperti berikut
(∀x)(∃y)C(y,x)
Yang dapat dibaca ”Untuk semua x, terdapat y dimana y mencintai x”
X dan Y sebenarnya menunjuk domain penafsiran yang sama yaitu orang, dan pada simbol tersebut ternyata dibedakan. Penulisan tersebut lebih baik lagi jika bisa memakai variable yang sama. Maka pernyataan diatas secara lengkap dapat ditulis :
(∀x)(O(x)⇒ (∃x)(O(y)∧ C(y,x) ) )
Sekarang perhatikan contoh penulisan pernyataan berikut jika menggunakan angka atau bilangan.
(∀x∈real)(∀y∈real)S(x,y), misalkan S(x,y)=x+y=y+x dan dapat dibaca “ Untuk semua bilangan real x dan semua bilangan real y, adalah benar x+y=y+x”
Sekarang perhatikan jika pengkuantoran ternyata melibatkan lebih dari satu jenis kuantor dengan contoh pernyataan berikut :
“Terdapat bilangan positif x sedemikian sehingga untuk semua bilangan positif y berlaku y
Pernyataan di atas dapat ditulis:
(∃x)(∀y)(y
Sebelumnya telah dijelaskan bahwa kuantor universal (∀) dan kuantor eksistensial (∃) diperlakukan sebagai perangkai unary dan kuantor juga memiliki urutan lebih tinggi dibandingkan dengan perangkai binary.
Contoh
H(x)∶ x hidup
M(x)∶ x mati
(∀x)(H(x) ∨ M(x)) dibaca “Untuk semua x, x hidup atau x mati” Akan tetapi jika ditulisnya (∀x)(H(x)) ∨ M(x) maka dibaca “Untuk semua x hidup, atau x mati”. Pada “x mati”, x tidak terhubing dengan kuantor universal, yang terhubung hanya”x hidup”. Sekali lagi, perhatikan penulisan serta peletakan tanda kurungnya.
Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalah sebagai berikut :
(∀x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∀x) P(x,y)
(∃x)(∃y) P(x,y) ≡ (∃y)(∃x) P(x,y)
(∃x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∃x) P(x,y)
Ingkaran kalimat berkuantor ganda dilakukan dengan cara yang sama seperti ingkaran pada kalimat berkuantor tunggal.
¬[(∃x)(∀y) P(x,y)] ≡ (∀x)(∃y) ¬P(x,y)
¬[(∀x)(∃y) P(x,y)] ≡ (∃x)(∀y) ¬P(x,y)
Contoh:
Tentukan negasi dari logika predikat berikut ini :
(∀x)(∃y) x=2y dengan domainnya adalah bilangan bulat
(∀x)(∃y) x=2y dibaca “Untuk semua bilangan bulat x, terdapat bilangan bulat y yang memenuhi x=2y. Maka negasinya :¬[(∀x)(∃y) x=2y] ≡ (∃x)(∀y) x≠2y
Ada toko buah yang menjual segala jenis buah. Dapat ditulis (∃x)(∀y) x menjual y. Maka negasinya ¬[(∃x)(∀y) x menjual y] ≡ (∀x)(∃y) x tidak menjual y Dibaca “Semua toko buah tidak menjual paling sedikit satu jenis buah”.
Mengubah pernyataan ke dalam logika predikat yang memiliki kuantor ganda
Misal : “Ada seseorang yang mengenal setiap orang”
Langkah-langkahnya :
Jadikan potongan pernyataan ”x kenal y”, maka akan menjadi K(x,y).K(x,y)∶ x kenal y
Jadikan potongan pernyataan ”x kenal semua y”, sehingga menjadi (∀y) K(x,y)
Jadikan pernyataan “ada x, yang x kenal semua y”, sehingga menjadi (∃x)(∀y) K(x,y)

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar