Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

A. Fungsi

Fungsi kuadrat ialah pemetaan dari himpunan bilangan nyata R ke dirinya sendiri yang dinyatakan dengan rumus:
F: x
Di mana a, b, c konstanta-konstanta ∈R,a≠0 yang akan diselidiki ialah himpunan harga fungsi
Penyelidikan ini mengenai:
1. Pembuat nol f (x) atau harga nol
Harga nol dari f (x) didapat dari yang tidak lain adalah persamaan kuadrat dalam x. seperti pada persamaan kuadrat rumus penyelesaiannya adalah:
dengan
a. Kalau D > 0, maka akan didapat dua nilai pembuat nol yaitu dan
b. Kalau D =0, maka terdapat sebuah nilai pembuat no l yaitu
c. Kalau D < 0, maka tidak ada nilai pembuat nol
2. Nilai-nilai ekstrim dari f (x) dapat diubah menjadi . Tanda tergantung pada tanda a, sebab selalu positif atau nol, sedangkan konstan
a. Kalau a > 0, maka selalu positif atau nol sehingga f (x) mencapai minimum adalah apabila
b. Kalau a < 0, maka selalu positif atau nol sehingga f (x) mencapai maksimum adalah apabila
3. Tanda dari
a. Apabila D > 0, maka dapat diuraikan menjadi dimana dan pembuat nol dari f (x)
Kalau a > 0 maka supaya f (x) < 0 atau < 0, (x < x2)dipenuhi oleh x1 < x < x2 b. Kalau D = 0, maka dapat diuraikan menjadi apabila a > 0 maka f (x) < 0 atau < 0 tak ada harga x yang memenuhi. Sedang f (x) > 0 atau > 0 dipenuhi oleh semua x kecuali
c. Kalau D < 0, maka tidak dapat diuraikan
Perhatikan f (x) dalam bentuknya

d. Dalam hal D < 0, a > 0, maka , sedang negatif atau nol. Jadi, f (x) selalu negatif untuk setiap x atau definitif negatif.
e. Dalam hal D < 0, a > 0, maka, sedang negatif atau nol. Jadi, f (x) selalu positif untuk setiap x atau definitif positif.

B. Persamaan Kuadrat
Sifat bilangan nol
AB = 0, jika dan hanya jika A = 0 atau B = 0
Sifat akar kudrat:
Jika
Bentuk persamaan kuadrat dalam x adalah

dengan a,b,c∈R (R = himpunan bilangan nyata) dan a≠0
Jika, a,b,c∈R,a≠0
Maka,
Anggota-angota himpunan penyelesaian disebut juga akar-akar persamaan kuadrat.
Oleh karena; dalam rumus diatas D berada di dalam tanda akar kuadrat maka tanda D, perlu mendapat perhatian:
a. Kalau D > 0, maka dan nyata dan besarnya berlainan
b. Kalau D < 0, maka √D adalah khayal sehingga dan tidak nyata yaitu khayal apabila b = 0 dan komplek apabila b≠0 dan berlainan besarnya.
c. Karena semesta pembicaraannya bilangan-bilangan nyata, maka dalam hal D > 0, dikatakan bahwa persamaan ,tidak mempunyai akar.
d. Kalau D = 0, maka dikatakan bahwa persamaan mempunyai dua akar nyata dan sama besar atau kembar. Akar kembar itu adalah
Demikianlah maka diskriminan adalah penentu banyaknya akar persamaan

1. Sifat-sifat akar persamaan kuadrat
Rumus penyelesaian dari persamaan kuadrat
adalah
Maka jumlah akar-akar tersebut ialah
atau
Dan hasil kali akar-akar tersebut adalah
yaitu
Selisih akar tersebut ialah:

yaitu

2. Membentuk Persamaan Kuadrat
Apabila dalam persamaan:
Kedua ruasnya dibagi dengan a, maka diperoleh:

Oleh karena maka persamaan yang terakhir dapat ditulis:
Jadi suatu persamaan kuadrat dapat dibentuk apabila telah diketahui jumlah dan hasil kalinya akar-akarnya.

3. Grafik Fungsi Kuadrat
Himpunan titik-titik (x,y) yang mempunyai adalah parabola, sebaliknya disebut persamaan parabola.
Untuk melukis grafik fungsi diperlukan sebagai berikut:
a. Titik potong dengan sumbu x
Hal ini didapat apabila y = f (x) = 0 jadi,

Apabila akar-akarnya maka titik potong dengan sumbu x ialah .Ada tidaknya akar-akar tergantung dari diskriminan persamaan itu.
1) Kalau D > 0 grafik memotong sumbu x di dua buah titik
2) Kalau D = 0, grafik menyinggung di sebuah titik pada sumbu x di
3) Kalau D < 0, grafik tidak memotong sumbu x b. Titik potong dengan sumbu y Hal ini di dapat apabila x = 0, jadi y = c, maka titik potong dengan sumbu y adalah (0,c) c. Sumbu simetri Grafik dari fungsi kuadrat mempunyai simetri yang persamaannya
d. Koordinat titik balik/ titik puncak
Fungsi dapat diberi bentuk:

Kalau a > 0 maka parabola mempunyai titik balik minimum yang koordinatnya

Dalam hal a > 0, parabola disebut terbuka ke atas dan ke bawah a < 0 parabola disebut terbuka ke bawah.

C. Pertidaksamaan Kuadrat 

1. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat 
Langkah 1:  
Gambarlah sketsa grafik kuadrat atau parabola Jika ada, carilah titik-titik potong dengan sumbu x
Langkah 2:
Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh pada langkah 1, kita dapat menetapkan selang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat
ax^2+bx+c<0, ax^2+bx+c≤0, ax^2+bx+c>0, atau ax^2+bx+c≥0
2.Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan garis bilangan
Langkah 1:
Carilah nilai-nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri pertidaksamaan

Langkah 2:
Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis bilangan, sehingga diperoleh interval-interval
Langkah 3:
Tentukan tanda-tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang berada dalam masing-masing interval.
Langkah 4:
Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh pada langkah 3, kita dapat menetapkan interval yang memenuhi.
3. Merancang model matematika yang berbentuk pertidaksamaan kuadrat
Perhatikan contoh berikut:
Selisih kuadrat suatu bilangan positiff dengan enam kali bilangan itu tidak lebih dari 16. Tentukan batas-batas nilai bilangan tersbeut:
Dari bagian kalimat “tidak lebih dari 16” merupakan petunjuk bahwa masalah tersebut berkaitan dengan model matematika pertidaksamaan kuadrat satu variable. Masalah tersebut selanjutnya dapat dipecahkan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

a. Misalkan bilangan itu adalah x, dengan catatan bahwa x > 0	Menentukan besaran yang ada dalam masalah sebagai variable x
b.Berdasarkan ketentuan yang ada dalam soal, dipeoleh hubungan atau ekspresi matematika x^2-6x≤16	Merumuskan model matematika dari masalah, berbentuk pertidaksamaan kuadrat satu variabel
c.Penyelesaian model matematika yang berbentuk pertidaksamaan kuadrat x^2-6x≤16 adalah sebagai berikut: x^2-6x≤16 ⟺x^2-6x-16≤0 ⟺(x+2)(x-8)≤0 ⟺-2≤x≤8 Dengan menggabungkan syarat bahwa x > 0, maka diperoleh solusi 0 < x ≤8	Menentukan penyelesaian dari model matematika
d. Jadi, bilangan-bilangan itu lebih dari 0, tetapi tidak lebih dari 8	Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh