Minggu, 02 Januari 2011

Logika Matematika

Pernyataan dan Kalimat Terbuka
Pernyataan adalah kalimat yang memiliki nilai benar saja atau salah saja tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
Contoh pernyataan:
Ibu kota jawa timur adalah Surabaya, merupakan pernyataan yang benar
Air adalah benda padat, merupakan pernyataan yang salah
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah atau variabel, sehingga belum dapat ditentukan benar atau salahnya. Sebuah kalimat terbuka dapat diubah menjadi sebuah pernyataan dengan cara mengganti nilai pada peubah pada himpunan.
Contoh Kalimat terbuka:
x – 2 = 2
3x = 12

Operasi-Operasi dalam Pernyataan
Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (disebut komponen) dengan menggunakan kata hubung loguka (dan, atau, jika…maka…, …jika dan hanya jika…)

Ingkaran atau negasi
Jika p adalah sebuah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p dapat dituliskan dengan menggunakan lambang berikut:
~p dibaca bukan p
Tabel kebenaran negasi
p-p
BS
SB

Konjungsi
Dua pernyataan yang dirangkaikan dengan kata hubung logika “dan” lambang konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis p∧q (dibaca p dan q)
Tabel kebenaran konjungsi
pqp∧q
BBB
BSS
SBS
SSS
Contoh: 5 x 4 = 20 (B) dan 20 adalah bilangan genap (B), maka konjungsi ini benar.

Disjungsi
Dua pernyataan yang dirangkaikan dengan kata hubung logika “atau”. Lambang konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis p∨q (dibaca p atau q)
Tabel kebenaran konjungsi
pqp∨q
BBB
BSB
SBB
SSS
Contoh: 5 x 3 = 15 (B) atau 8 adalah bilangan ganjil (S), maka disjungsi ini benar.

Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk jika p maka q.
Pernyataan p disebut alasan atau sebab
Pernyataan q disebut kesimpulan
Lambang implikasi p⟹q
Implikasi p⟹q juga dibaca:
p hanya jika q
q jika p
p syarat cukup bagi q
q syarat perlu bagi p
Tabel kebenaran implikasi
pqp⟹q
BBB
BSS
SBB
SSB
Contoh:
Jika 3 adalah bilangan genap (S) maka Surabaya adalah ibukota Jawa Timur (B)
Implikasi ini bernilai benar, karena lasan salah dan kesimpulan benar.

Biimplikasi
Pernyataan bersyarat berbentuk “p jika dan hanya jiak q”
Lambang p⟺q
Biimplikasi p⟺q juga dibaca
Jika p maka q dan jika q maka p
p syarat perlu dan cukup bagi q
q syarat perlu dan cukup bagi p
Tabel kebenaran biimplikasi
pqp⟺q
BBB
BSS
SBS
SSB
Contoh: 2 x 3 = 6 (B) jika dan hanya jika 6 adalah bilangan prima (S) biimplikasi ini bernilai salah.

Menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk
Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk (p∧q)⟹r
pqrp∧q(p∧q)⟹r
BBBBB
BSSBS
BSBSB
BBSSB
SBBSB
SBSSB
SSBSB
SSSSB

Tautologi
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen. Jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya.

Konvers, Invers dan Kontraposisi
Dari suatu implikasi p⟹q dapat dibentuk persyaratan majemuk:
q⟹p disebut konvers dari p⟹q
~p⟹~q disebut invers dari p⟹q
~q⟹~p disebut kontraposisi dari p⟹q
Contoh:
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan impilikasi: “Jika Nita sakit, maka ia minum obat”.
Jawab:
Pernyataan konversnya: “ Jika Nita minum obat, maka ia sakit”.
Pernyataan inversnya: “Jika Nita tidak sakit, maka ia tidak minum obat”.
Pernyataan kontraposisinya: “ Jika Nita tidak minum obat, maka ia tidak sakit”.


Penarikan Kesimpulan (Argumen)
Suatu argumentasi dikatakan sah jika dan hanya jiak konjungsinya dari premis-premisnya benar.
Modus Ponens
Premis 1 : p⟹q
Premis 2 : p
Kesimpulan : q
Contoh:
Premis 1 : Jika Mas Yonas rajin belajar maka ia naik kelas
Premis 2 : Mas Yonas rajin belajar
Kesimpulan : Mas Yonas akan naik kelas

Modus Tollens
Premis 1 : p⟹q
Premis 2 : ~q
Kesimpulan : ~p
Contoh:
Premis 1 : Jikaarcellina tidak latihan menari
Kesimpulan : Bukan hari jum’at

Silogisme
Premis 1 : p⟹q
Premis 2 : q⟹r
Kesimpulan : p⟹r
Contoh:
Premis 1 : Jika budi sakit maka ia pergi ke dokter
Premis 2 : Jika ia pergi ke dokter maka ia disuntik
Kesimpulan : Jika budi sakit maka ia disuntik

Negasi/ Ingkaran
Negasi dari konjungsi: ~(p∧q)=~p∨~q
Negasi dari disjungsi: ~(p∨q)=~p∧~q
Negasi dari implikasi: ~(p⟹q)=p∧~q
Negasi dari biimplikasi: ~(p⟹q)=p⟺q)≡~p⟺q

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar