Bentuk Akar, Pangkat, dan Logaritma

A. Bilangan Pangkat

1. Pangkat Bulat Positif

Yaitu apabila n adalah sebuah bilangan bulat positif dan a bilangan real maka a^n didefinisikan sebagai perkalian n faktor yang masing-masing faktornya adalah a.
Jadi, a^n=a×a×a×a×∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙×a,dan a^1=a
Sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif
a. Jika m dan n adalah bilangan bulat positif dan a∈R,
b. Jika a∈R(a≠0) dan m dan n adalah bilangan bulat positif, maka:
jika m > n, jika m < n, 1 jika m = n c. Jika m dan n adalah bilangan bulat positif dan a∈R, maka
d. Jika n adalah bilangan bulat positif dan a,b∈R, maka
e. Jika n adalah bilangan bulat positif dan a,b∈R, maka
2. Pangkat Bulat Negatif dan nol
a. Pangkat Bulat Negatif
Untuk setiap bilangan real dan bilangan rasional n, berlaku
b. Pangkat Nol
Untuk setiap a bilangan real, dan ≠0 , maka berlaku

B. Bentuk Akar
1. Pengertian Bentuk Akar
√a adalah bilangan non negatif sedemikian sehingga √a×√a=a
Catatan:
a. Jika a≥0, maka √a terdefinisi
b. Jika a<0,, maka √a tidak terdefinisi c. √a tidak pernah negatif, √a≥0
2. Menyederhanakan Bentuk Akar 
Bentuk akar √a dapat disederhanakan jika a dapat dinyatakan dengan faktor-faktor yang memuat bilangan kuadrat sempurna. Untuk menyederhanakan bentuk akar digunakan sifat:
Bukti:




terbukti

C. Merasionalkan Bentuk Akar dan Pangkat
1. Bentuk
Bentuk akar dengan b≠0 dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan dengan √b sehingga:

2. Pecahan Bentuk
Untuk menyederhanakan bentuk pecahan dan adalah dengan mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebut. Bentuk sekawan dari adalah . Sebaliknya, bentuk sekawan dari adalah sehingga:



3. Pecahan Bentuk
Dan untuk menyederhanakan penyebut dari bentuk pecahan atau yaitu dengan car mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebutnya. Bentuk sekawan dari adalah . sebaliknya adalah sehingga:


4. Menyederhanakan bentuk akar
Bentuk dapat diubah menjadi bentuk dengan syarat a,b∈R dana>b.
Bukti:



jadi

D. Logaritma
1. Sifat-Sifat Logaritma
a. Sifat 1
Untuk a>0,a≠1 berlaku:

Bukti:
1) Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Jadi,
2) Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu. Jadi,
3) Log 10 adalah suatu logaritma dengan basis dan numerusnya 10. Jadi, log 10 = 1
b. Sifat 2
Untuk a>0,a ≠1,x>0 dan y>0 serta a,x,dan y∈R berlaku:

Bukti:



Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:


Maka:
sehingga

c. Sifat 3
Untuk a>0,a ≠1,x>0 dan y>0 serta a,x,dan y∈R berlaku:

d. Sifat 4
Untuk a>0,a ≠1,x>0 dan y>0 serta a,x,dan y∈R berlaku:

e. Sifat 5
Untuk a>0,a ≠1,x>0 dan y>0 serta a,x,dan y∈R berlaku:

f. Sifat 6
Untuk a,p>0,dan a ,p≠1 serta a,p,dan x∈R berlaku

g. Sifat 7
Untuk a>0,x>0,y>0,a,x,dan y ∈R berlaku:

h. Sifat 8
Untuk a>0,serta a dan x∈R, berlaku:

i. Sifat 9
Untuk a>0,serta a dan x∈R berlaku: