Senin, 10 Januari 2011

Dimensi Tiga

A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG
1. Titik, Garis Dan Bidang
Titik merupakan unsur ruang yang paling sederhana, tidak didefinisikan, tetapi setiap pembaca diharapkan dapat memahaminya. Yang dimaksud garis dalam bahasan ini adalah garis lurus dan yang dimaksud dengan bidang adalah bidang datar. Keduanya berukuran tak terbatas. Untuk garis tak terbatas panjangnya, sedangkan untuk bidang tak terbatas luasnya. Garis digambar digunakan sebatas yang diperlukan, khusus pada tulisan ini tidak berujung anak panah. Untuk menggambar sebuah bidang biasanya digunakan sebuah persegi panjang berukuran sesuai keperluan. Namun karena kedudukannya umumnya tidak frontal (tidak sejajar atau tidak pada bidang gambar), maka sebuah bidang datar biasa diwakili oleh sebuah jajar genjang. Untuk menunjukkan sebuah titik tertentu, kadang-kadang digunakan sebuah noktah. Pada bangun datar atau bangun ruang tertentu, misalnya pada sebuah kubus, meskipun bangun ruang tersebut mempunyai 8 titik sudut sebagai titik potong tiga bidang, atau tiga rusuk, titiknya tidak biasa.
2. Kedudukan Titik Terhadap Garis Dan Bidang
a. Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah garis g, mungkin:
1) Titik T terletak pada garis g, atau garis g melalui titik T (Gb. 1. 1 (i))
2) Titik T berada di luar g, atau garis g tidak melalui titik T (Gb. 1. 1 (ii))
Jika T pada g dan P pada g, maka dapat dinyatakan bahwa garis g melalui T dan P
Aksioma 1: Melalui dua buah titik dapat dibuat tepat satu garis.
b. Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah bidang H, mungkin:
Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H melalui titik T (Gb. 1.2 (i))
Untuk menunjukannya dibantu dengan menggambar sebuah garis pada bidang H (lihat C)
Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H tidak melalui titik T (Gb. 1.2 (i))

3. Kedudukan Garis Terhadap Bidang dan Garis
a. Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, mungkin:
1) Garis g terletak pada bidang H, atau bidang H melalui garis g. Sebuah garis g
dikatakan terletak pada bidang H jika setiap titik pada garis g terletak pada bidang H.
Untuk menunjukan, ujung ruas garis wakil g harus terletak pada sisi jajar genjang wakil bidang H.
Jika ada titik T di luar g juga terlatak pada bidang H, maka dapat dinyatakan pula bahwa bidang H melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.
Aksioma 2: Melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut dapat dibuat tepat sebuah bidang datar. Karena garis g tertentu jika dua ada dua titik tertentu (misal A dan b) yang dilaluinya, maka:
Aksioma 3: Melalui tiga buah titik tak segaris dapat dibuat tepat sebuah bidang datar.
2) Garis g memotong bidang H, atau garis g dan H berpotongan.
Garis g dikatakan memotong bidang H jika garis g dan bidang H mempu-nyai hanya sebuah titik persekutuan. Titik itu disebut titik potong atau titik tembus garis g terhadap bidang H. Pada Gb. 1.3 (ii), T adalah titik tembus g terhadap H.
3) Garis g sejajar bidang H (g // H), atau bidang H sejajar garis g.
Sebuah garis g dikatakan sejajar bidang H jika garis g dan bidang H tidak mempunyai titik persekutuan. Untuk menunjukkannya dapat dilakukan dengan menggambar sebuah garis pada H (misal h) sejajar garis g. Lihat Gb. 1.3 (iii).
b. Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis H, mungkin:
Garis g dan garis H terletak pada sebuah bidang (misal H). Jika demikian maka yang dapat terjadi adalah:
g dan H berimpit. Dikatakan g = H.g dan H berpotongan (pada sebuah titik). (Gb. 1.4 (i))
Aksioma 4: Melalui dua garis berpotongan dapat dibuat tepat sebuah bidang datar.
g ║h, yaitu jika keduanya tidak mempunyai titik persekutuan. (Gb. 1.4 (ii))
Aksioma 4: Melalui dua garis sejajar dapat dibuat tepat sebuah bidang datar.
garis g dan garis H tidak sebidang. Dikatakan bahwa garis g dan H bersilangan (silang menyilang). Jadi keduanya tidak sejajar dan juga tidak mempunyai titik persekutuan.
4. Hubungan Antara Bidang-Bidang
Dua bidang berimpit (semua titik pada bidang yang satu terletak pada bidang kedua, dan sebaliknya) dipandang sebagai sebuah bidang saja.
a. Hubungan antara dua bidang
Jika diketahui bidang H dan V, maka mungkin:
1)Bidang H dan V sejajar
Keduannya sama sekali tidak mempunnyai titik persekutuan. (Gb. 1.5 (i))
2) Bidang H dan V berpotongan pada sebuah garis. Garis potong ini biasa dilambangkan dengan (H, V). (Gb. 1.5 (ii))
b. Hubungan antara Tiga bidang (α,β,γ)
1) Ketiganya sejajar: → Bidang α‖β‖γ (Gb. 1.6(i))
2) Dua bidang sejajar, dipotong bidang ketiga: Bidang α‖β dan γ‖α,γ‖β⟹(α,γ) ‖(β,γ)(Gb. 1.6 (ii))
3) Ketiga bidang berpotongan pada suatu garis ⟹(α,β),(α,γ),dan (β,γ) berimpit. (Gb. 1.6 (iii))
4) Ketiga bidang berpotongan pada tiga garis potong yang sejajar. (α,β)‖(α,γ)‖(β,γ) (Gb. 1.6 (iv))
5) Ketiga bidang berpotongan pada sebuah titik ⟹ ketiga garis potong (α, β), (α, γ), dan (β, γ) melalui sebuah titik. (Gb. 1.6 (V))
5. Menentukan Titik Potong Garis dan Bidang dan Garis Potong antara Bidang-Bidang
Garis g dan H berpotongan di titik T. Garis H menembus α di A dan β di B. Garis g memebus β di C. Tentukan titik tembus g terhadap α.
Jawab: Garis g dan H berpotongan. Jadi dapat dibuat sebuah bidang misal γ melalui g dan H.
C dab B pada bidang α
C dan B pada bidang β
Jadi CB = (α,β)
(β, γ) memotong (α, β) di titik K. Maka garis potong ketiga yaitu (α, γ) juga melalui K (*). Karena A pada H, maka pada γ. Titik A titik tembus H terhadap bidang α, maka A pada α. Jadi A pada (α, γ). (**)
Dari (*) dan (**) maka (α, γ) = garis KA KA dan g pada bidang γ, keduanya berpotongan.di titik D = titik tembus g terhadap bidang α.


B. JARAK DAN SUDUT
1. Jarak
Definisi: Jarak antara dua buah bangun adalah panjang ruas garis penghubung terpendek yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut.
Jika G1 dan G2 adalah bangun-bangun geometri, maka G1 dan G2 dapat dipikirkan sebagai himpunan titik-titik, sehingga dapat dilakukan pemasangan antara titik-titik pada G1 dan G2. Jika ruas garis (AB) ̅ adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis (AB) ̅ disebut jarak antara bangun G1 dan G2. Akibat dari pengertian yang demikian maka:
a. Jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ . (Gb. 2.2 (i))
b. Jarak antara titik P dan garis g adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi P pada garis g. Pada Gb. 2.2 (ii), jarak antara titik P dan garis g = (PP_1 ) ̅ .
c. Jarak antara titik P pada bidang K adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi titik P pada bidang K. Pada Gb. 2.2 (iii), jarak antara titik P dan bidang K = PP_1.
d. Jarak antara garis g dan bidang K yang sejajar adalah sama dengan jarak salah satu titik pada garis g terhadap bidang K. Pada Gb. 2.2 (iV), jarak antara g dan K dengan g ║ K adalah P_1 .
e. Jarak antara bidang K dan L yang sejajar adalah sama dengan jarak salah satu titik pada bidang K terhadap bidang L, atau sebaliknya.
f. Jarak antara garis g dan H yang bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang letaknya tegaklurus pada g dan H (perhatikanlah cara menggambarkannya).$
2. Cara Melukis Jarak Dua Garis Bersilangan
Cara I (Gambar 2.3):
a. Lukis garis b1 // B dan memotong garis a.
b. Lukis bidang H melalui A dan b1.
c. Proyeksikan garis B terhadap bidang H. Hasilnya adalah garis b2, yang memotong garis A di titik A.
d. Lukislah garis g yang melalui A ⊥ b, dan memotong garis B di B.
e. AB = panjang AB , merupakan jarak antara garis A dan B yang bersilangan
Cara II (Gambar 2.4):
a. Lukislah bidang H ⊥ b. Bidang H memotong garis B di P.
b. Proyeksikan garis A pada bidang H, hasilnya a1.
c. Lukislah garis melalui P ⊥ a1 dan memotong a1 di titik Q.
d. Melalui Q lukis garis k // B yang memotong garis A di titik A.
e. Melalui titik A lukis garis l ║↔PQ dan memotong garis B di titik B.
f. Panjang AB sama dengan panjang PQ dan merupakan jarak antara garis A dan B yang bersilangan.
3. Sudut
a. Sudut Antara Dua Garis
Sudut antara dua garis garis adalah sudut lancip atau siku-siku antara kedua garis tersebut. Dengan demikian maka sudut antara dua garis bersilangan adalah sudut lancip atau siku-siku yang terbentuk oleh kedua garis bersilangan (tidak sebidang)


Jika A dan B dua garis bersilangan, maka besar sudut antara kedua garis sama de-ngan besar sudut antara a′ yang sebidang dengan B dan sejajar a, dengan b, atau sebaliknya: antara b′ yang sebidang dengan A dan sejajar b, dengan a. Jika sudutnya 90°, dikatakan A menyilang tegak lurus b.
Pada Gambar 2.8, A dan B bersilangan. Besar sudut antara A dan B = ∠EDF = α
b. Sudut Antara Garis dan Bidang
Garis A dikatakan tegak lurus bidang H, jika garis A tegaklurus pada semua garis pada bidang H


g ⊥ a1, g ⊥a2, g ⊥ a3, …dengan a1, a2, a3, … pada bidang H ⊥ g ⊥ H. (Gb. 2.9) Karena dua garis berpotongan menentukan keberadaan sebuah bidang (melalui 2 garis berpotongan dapat dibuat tepat sebuah bidang), maka: jika garis g tegak lurus pada dua buah garis pada bidang H, maka garis g ⊥ H. Besar sudut antara garis A dan bidang H, dengan A tidak tegak lurus H, ditentukan oleh besar sudut antara garis A dan a′ yang merupakan proyeksi garis A pada bidang H.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar