Bidang Banyak Beraturan

A. Pengertian Mengenai Bidang Banyak Beraturan

Bidang banyak adalah bangun yang dibatasi oleh bidang-bidang datar yang dua-dua saling berpotongan.

Sisi bidang banyak yaitu bidang-bidang atau lebih tepatnya bagian-bagian bidang yang membatasi bidang.

Rusuk adalah ruas-ruas garis yang membatasi sisi-sisi. Rusuk-rusuk berpotongan pada titik sudut.

Jika perpanjangan semua rusuk berada di luar bidang banyak, maka bidang banyak yang demikian disebut bidang banyak konveks.

Bidang banyak beraturan adalah bidang banyak konveks yang semua sisinya berupa daerah segi banyak beraturan yang kongruen dan pada setiap titik sudutnya bertemu sisi-sisi yang sama banyaknya.

Pada setiap bidang banyak konveks berlaku dalil EULER, yang bunyinya:

Dalil: Pada setiap bidang banyak konveks banyaknya semua sisi ditambah banyaknya semua titik sudut sama dengan banyaknya rusuk ditambah dua.

Jika S menyatakan banyaknya sisi.
T menyatakan banyaknya titik sudut.
R menyatakan banyaknya rusuk
Dalil EULER dapat dinyatakan dalam bentuk rumus: S + T = R + 2
Sudut bidang banyak adalah bagian ruang yang dibatasi oleh tiga buah bidang datar atau lebih, yang kesemuanya melalui sebuah titik. Khususnya jika dibatasi oleh tiga bidang, maka disebut sudut bidang tiga. Titik-titik pertemuan dari sudut bidang banyak itu disebut titik puncak atau titik sudut dari bidang banyak. Garis-garis potong antara tiap dua bidangnya disebut rusuk bidang banyak, sedang daerah sudut yang terbentuk atau dibatasi oleh dua rusuk yang berdekatan disebut sisi bidang banyak.
Sudut-sudut bidang banyak adalah sudut-sudut tumpuan dari sudut-sudut bidang dua yang terjadi oleh bidang-bidang yang membentuk sudut bidang banyak itu.

Pada sudut bidang tiga T.ABC, yang dimaksud dengan:
- Titik puncaknya adalah titik T
- Rusuk-rusuknya adalah
- Sisi-sisinya adalah daerah-daerah
- Sudut-sudutnya adalah sudut tumpuan pada rusuk-rusuk
Dalil: jumlah semua sisi sebuah sudut bidang banyak kurang dari

B. Penyelidikan Bidang Banyak Beraturan

Menurut definisi, sebuah bidang banyak beraturan dibatasi oleh daerah-daerah segi banyak beraturan yang kongruen dan disetiap titik sudutnya bertemu sejumlah daerah segi banyak beraturan yang sejenis.
Jika sisi-sisinya berupa daerah segitiga samasisi, maka kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi:
1. Ditiap titik sudutnya bertemu tiga buah sisi, karena , jumlahnya kurang dari
2. Ditiap titik sudutnya bertemu 4 buah sisi, karena , jumlahnya kurang
3. Ditiap titik sudutnya bertemu 5 buah sisi, karena , jumlahnya kurang dari

Banyaknya sisi bidang-bidang banyak beraturan:

1. Jika 3 daerah segitiga samasisi pada tiap titik sudut.
Misal ada x buah sisi, berarti x buah segitiga samasisi memiliki 3 x buah titik sudut. Setiap 3 titik sudut segitiga menghasilkan sebuah titik sudut bidang banyak beraturan (x).
x buah segitiga samasisi mempunyai 3 x sisi, tiap 2 sisi segitiga membentuk satu rusuk bidang banyak (membentuk 3x/2 buah rusuk). Sehingga memenuhi rumus EULER:





artinya bidang banyak ini mempunyai 4 buah sisi, yang pada tiap titik sudutnya bertemu tiga buahh sisi. Bidang ini disebut bidang empat beraturan atau tetra eder atau terahedren.

2. Jika 4 daerah segitiga samasisi pada tiap titik sudut.

Misal bidang banyak beraturan itu mempunyai x buah sisi. x buah segitiga memberikan 3x titik sudut dan menghasilkan 3x/4 buah titik sudut bidang banyak. X buah segitiga memberikan 3x buah sisi dan menghasilkan 3x/2 buah rusuk bidang banyak. Dengan rumus EULER:



Berarti bidang banyak ini mempunyai 8 buah bidang sisi, disebut bidang delapan beraturan atau octaeder atau octahedron.

3. Jika 5 daerah segitiga samasisi pada tiap titik sudut.

Dengan cara yang sama diperoleh:





Bidang banyak ini disebut bidang dua puluh beraturan atau ecosaeder atau ecosahedron.

4. Jika 3 daerah bujur sangkar pada tiap titik sudut

Dengan cara yang sama diperoleh:





Bidang banyak ini disebut bidang enam beraturan atau hexaeder atau hexahodren, dan lebih dikenal dengan kubus.

5. Jika 3 daerah segilima beraturan pada tiap titik sudut

Dengan cara yang sama diperoleh:





Bidang banyak beraturan ini disebut bidang dua belas beraturan atau dodecaeder atau dodecahedron.